この問題、とけますか? ~チャレンジ難問篇~ (だいわ文庫)

この頁の「商品の説明」には、「待望のベストセラー第3弾！江戸時代の問題から…入試問題まで、古今東西のなかなか解けない難しい良問をセレクト！」とあるように、著者は既に類書を刊行されている。勿論、著者だけでなく（○□入試問題であると◇☆入社問題であるとを問わず）この系統の先行類書は少なくない。実際に私は（タイトルは失念したが）これまで複数冊を読んでいる。その点では新規性は乏しく、またトピック（問題）の殆どが確率論・論理学・集合・統計学・数的処理論等で占められており、（入試・入社問題を含めその質的異同は格別）先行類書に比して本書の趣旨・志向性における独自性は基本的には大きくないと考える。内容・構成は、①暗号と思考実験にチャレンジ、②日常に潜むパズル、③直感を鍛えるパズル、④江戸時代のパズル、⑤世界の手ごわい問題、⑥変わった計算、⑦難関中学入試でおさらい、以上の７個のカテゴリー毎に７題～１２題前後の『難問』及び解答・解説が展開されている。私見だが、閃きと論理で解けるものもあるが、多くは解法にペンと計算用紙が必要なものも少なくないので、（リユースを気にしない読者は）ペン１本で書き込みしつつ解くと良い。古典的問題系統はある程度網羅されており解法を知る人もいるだろうが、初見の読者には結構アタマの体操になる。以下、幾つかの紹介と所見を述べたい。まずＱ１・２２・３３・５０等は著名な問題だろう。Ｑ１０では樽の分別問題ながら、「どのように分配すればよい」か？を問うものでその方法に制限がない （入れ替え・移し換えを禁止していない） から、満杯の７個の樽から空の７個の樽に各々半分量を移すと（「容量の同じ樽」なので各々が同一の深さになれば良い）、２１個の半分量の樽となる。これらを７個ずつ３人で分ければ良い、と私は考えた（不充分か？）。他方Ｑ１９は、以下の方程式から解いたが解法解説では何故か言及がない。ｎ^2＝１９８０－ｎ…①ｎ＞０（年齢にマイナスはない）ｎ^2＋ｎ－１９８０＝０…これを因数分解する（２数の和が＋１、積が－１９８０）（ｎ＋４５）（ｎ－４４）＝０∴ｎ＝４４（①より“ｎ＝－４５”は不適解）次にＱ３９の「油わけ算」、Ｑ１７の「砂時計」も同趣旨の系統と思われる。特に前者は映画『ダイ・ハード３（Blu-ray）』で主演のブルース・ウィリスとサミュエル・Ｌ・ジャクソンが劇中で奮闘した、著名問題の系統に属すると思料される（難易度は格段に高くなっている）。本問でのポイントは、１０Ｌ・７Ｌ・３Ｌの各枡での加減算で“２Ｌ計量”を創り出す操作にあろう。この“２Ｌ計量”に辿り着ければ、〔２Ｌ＋３Ｌ枡〕又は〔７Ｌ枡－２Ｌ〕等で５Ｌに分配できる。これを正答では⑥回目（空容量）で達成している。なお本問の私の解法は以下の通り、“２Ｌ計量”は正答と同じく⑥回目（残余量）で達成した。この方法は著者指摘の別解（最初に３Ｌ枡に移す方法）と推察され、右指摘通り１０回操作を要する。枡〔１０Ｌ〕〔７Ｌ〕〔３Ｌ〕①７０３②７３０③４３３④４６０⑤１６３⑥１７２…２Ｌ計量（残余量）⑦８０２⑧８２０…２Ｌ移動⑨５２３⑩５５０この方法は正答と対比すると、“２Ｌ計量”を同じ操作回数（⑥回目）で達成しながら、上記⑧において右２Ｌ計量分の枡入れ替えを余儀なくされ、この差がそのまま結果（＋１回）に現れている。正答の⑥回目の１Ｌ移動は 空容量に依る“２Ｌ計量”を達成させる意味のある移動である。無いアタマを色々悩ませたが、さすが古典的難問だけに正答には無駄が無い。次にＱ２２の「条件付き確率」論では解説がない部分（Ａ家・Ｃ家へ忘れた確率）に付言しておくと…①Ａ家に忘れた確率（１／５）÷（６１／１２５）＝２５／６１②Ｃ家に忘れた確率（Ａ家・Ｂ家共に忘れていない前提に注意）（４／５）×（４／５）×（１／５）÷（６１／１２５）＝１６／６１※なお（２５／６１）＋（２０／６１）＋（１６／６１）＝１この条件付き確率論に関し、（誤謬で）有名なものが兄弟姉妹の確率における長子設定のケースだろう。屡々設定されるのは“２人の子供がおり、このうち少なくとも１人が男子である時もう１人が男子（又は女子）である確率”を求めるもの。これはオーソドックスに…①兄・弟、②兄・妹、③姉・弟、④姉・妹…以上の４通りのうち、④は「少なくとも１人が男子」との題意に反するので除外すると（＝３通りの組合せ）、答えは１／３（女子なら２／３）となる。この問題を“２人の子供で兄がいる時、もう１人が男子（又は女子）である確率”と設定した（引っかけ）問題だと、これの確率は１／２となる。何故なら長子が“兄”（＝男子）であることは“確定”しているから、①兄・弟、②兄・妹の組合せしかない（長子は男子確定なので、長子の性別を考慮する必要がない）。大分昔に係る問題（解答だったか？）の誤謬をネットで指摘したところ、条件付き確率云々と言った解説付きのご丁寧な反論（＝失当）を頂いたことがある。このほか、Ｑ４４・４６・５３・５８等は納得させられる問題ながら、Ｑ６３を理論的に解くには、模範解答のような仮定を使うと論理（小学生における理屈付け）が煩瑣となるので、入試と言う時間制限も考慮すると直接題意に沿って素直に解いた方が良い（代数を使わない理論）。①柿の値段に対して、梨は３０円、りんごは９０（３０＋６０）円ほど高く支払う。②すると梨２個で６０円、りんご３個で２７０円（計３３０円）を柿代金より高く支払う。③代金１１１０円から、柿１個分より高く支払う前記３３０円を引くと７８０円となる。④右７８０円は柿に対する“梨＋りんご”の差額を控除したので、柿６個代金と同視できる。∴７８０÷６＝１３０円が柿単価となる。すると梨は１６０（１３０＋３０）円、りんごは２２０（１６０＋６０）円である。他方、小学生への入試問題と言う前提を無視して代数学で解くなら、模範解答のようにわざわざ“３元（方程式）”を持ち出すまでもなく、１元方程式〔ｘ＋２（ｘ＋３０）＋３（ｘ＋９０）＝１１１０〕を解いた方が単純かつスマートである（前叙の解法主旨）。このほかＱ６６・６８等は、著者指摘の通り（２２７頁）、小学校６年生がどのように解くべきなのか私も興味がある。